Für die Mathematikerinnen und Mathematiker ein Schmankerl, das sich noch in der Entwicklung befindet, aber schon erste vorzeigbare Ergebnisse generiert:
Interessantes zur Zahlentheorie : Strukturen ungerader Zahlen : 8*n +-1 , 8*n +-3
Die folgenden Überlegungen bauen auf einer speziellen Darstellung der ungeraden Zahlen über den Faktor 8 auf.
1.1 Satz: Alle ungeraden ganzen Zahlen gehören zu einem der folgenden Zahlentypen:
8*m-3
8*m-1
8*m+1
8*m+3
Die Differenz der ungeraden Nachfolger zwischen 8*m-3 bis zu 8*m+3 ist trivialerweise immer jeweils zwei (id -3, id-1, id+1, id+3), das heißt, für alle n_m = 8*m-3, 8*m-1, 8*m+1, 8*m+3 gilt jeweils geordnet und paarweise, dass sie direkte Nachfolger in der Folge 2*n-1 sind, also auch ungerade.
Zu zeigen ist nur, dass für 8*(m-1)+3 und 8*m-3 ebenfalls die Relation des ungeraden Nachfolgers gilt. 8*m - 3 - (8*(m-1) + 3) = 2 ist:
8m - 3 - 8m + 8 - 3 = - 6 + 8 = 2 für alle m.
Diese kleine innere Struktur der ungeraden Zahlen erlaubt die Zuschreibungen von Eigenschaften zu diesen Gruppen.
1.2 Satz: Ungerade Quadratzahlen haben immer die Struktur 8*m +1.
Beweise:
- für Quadratzahlen des 8m+1 Typs:
(8*m +1) (8*m+1)= 64*m^2 +16*m + 1 = 8*[(8*m + 2)*m] + 1
mit m' = 8m^2 + 2m:
8m' + 1
- für Quadratzahlen des 8m+3 Typs:
(8*m+3)*(8*m+3) = 64*m^2 + 48*m + 9 = 8*[(8*m^2 + 6*m +1)] + 1
und m' = (8*m^2 + 6*m +1):
8*m'+1
- für Quadratzahlen des 8m-3 Typs:
(8*m-3)*(8*m-3) = 64*m^2- 48*m + 9 = 8*[(8*m^2 - 6*m +1)] + 1
und m' = (8*m^2 - 6*m +1):
8*m' +1
für Quadratzahlen des 8m-1 Typs:
(8*m -1) (8*m-1)= 64*m^2 -16*m + 1 = 8*[(8*m - 2)*m] + 1 mit m' = 8m^2 - 2m:
8m' + 1
2 Exemplarische Merkmale der Zahlenstruktur
2.1 Bestimmbare Restklassenstrukturen
Beim Faktorisieren von Zahlen lässt sich m verwenden, um mit typischen modulos die Teilbarkeit der 8*m+-c Zahl abzubilden.
Für 8*m - 1 Zahlen gilt:
Der m-Wert von 8*m-1 Zahlen hat
- modulo 0,5*t denselben Faktor 4*t-1 wie 8*m-1:
Lemma 2.1.1 (m - 0,5*t )%(4*t-1) = 0 gdw (8*m-1)%(4*t-1) =0
Bew:
(m - 0,5*t))% (4*t-1) = mod <=> (8*(m - 0,5*t))% (4*t-1) = 8*mod
Für mod = 0 <=> teilbar also (m - 0,5*t))% (4*t-1) = 0 = (8*(m - 0,5*t))% (4*t-1)
Trivialerweise gilt (8*m - 1) % (4*t-1) = ((8*m - 1) - (4*t-1))% (4*t-1)
zu zeigen:
8* (m - 0,5*t)/ (4*t-1) = ((8*m - 1) - (4*t-1) ) / (4*t-1)
Bew.:
8* (m - 0,5*t)/ (4*t-1)
= (8m - 4*t) / (4*t-1)
= (8*m - 4*t - 1 + 1) / (4*t-1)
= (8*m - 1 - (4*t - 1)) / (4*t-1)
2.1.2 Für einen weiteren strukturierten Rest gilt die Übertragbarkeit von reduziertem m auf 8*m-1:
Lemma 2.1.2: (m - 1 - 7*v)% (8*v+1) = mod <=> (8*(m - 1 - 7*v)% (8*v+1) = 8*mod
Beweis:
Für mod = 0 <=> teilbar also
(m - 1 - 7*v)% (8*v+1) = 0 = (8*(m - 1 - 7*v)% (8*v+1)
zu zeigen:
8* (m - 1 - 7*v)/ (8*v +1) = (8*m - 1) - n*(8*v+1) n € N
In dem Fall haben der linke und der rechte Ausdruck den gleichen mod=0 für den Teiler (8*v+1).
8* (m - 1 - 7*v)/ (8*v +1)
= (8m - 8 - 56*v)/(8*v +1)
= (8*m - 1 -7 -56*v)/(8*v +1)
= ((8*m -1) - 7*(8*v +1))/(8*v +1)
3 Approximierbarkeit und Berechenbarkeit von Faktoren
Aus der abstrakten Faktorenzerlegung von 8*m-1 in (8*t-1)*(8*v+1) lässt sich eine analytische Ebene zur Berechnung von (8*t-1) und (8*v+1) ableiten.
Statt (8*t-1) wird im folgenden ein t' = 2*t betrachtet. Zudem gilt per definitionem
za = 8*m - 1
za = (4*t -1)*(8*v+1)
Untersucht wird eine Teilstruktur von [(m- 0,5*t) / (4*t-1)] * [(m - 1 - 7*v) / (8*v+1)].
3. 1 Behauptung: [(m- 0,5*t) / (4*t-1)] * [(m - 1 - 7*v) / (8*v+1)] = v* (t/2 - 1)
Beweisschritt 1: zu zeigen: [(m- 0,5*t) / (4*t-1)] = v
bekannt: 8*m- 1 = (4*t -1)*(8*v+1)
Äquivalenzen: 8*m- 1 = 32tv - 8v + 4t - 1
8*m- 1 - 4t + 1 = 32tv - 8v
8*m- 4t = 32tv - 8v
8* (m - 0,5*t) = 8v* (4*t - 1) / 8*(4*t -1)
[8*(m - 0,5*t)]/ [8*(4*t -1)] = v
3.1.1 Lemma: (m - 0,5*t)/ (4*t -1) = v
Folgerung 1:
gegeben: za = (4*t -1) * (8*v+1)
Äquivalenzen: za = (4*t -1) * (8*v+1) // : 4*t -1)
(8*m - 1)/(4*t - 1) = (8*v+1)
(8*m - 1)/(4*t - 1) = 8*v + 1 // - 1
(8*m - 1)/(4*t - 1) - 1 = 8*v // : 8
(m - 0,125)/ (4*t - 1) - 1/8 = v
(m - 0,125)/ (4*(t - 1/4)) - 1/8 = v // *(t - ¼)
[(m - 0,125)/ 4] - [(t - ¼)/8] = v*(t - ¼) // + [(t - ¼)/8]
(m - 0,125)/ 4 = v*(t - ¼) + (t - ¼) / 8
m/4 - 1/ 32 = v*(t - ¼) + t/8 - 1/32 // + 1/32
m/4 = v*(t - ¼) + t/8
Satz 3.1.1 m/4 = v*t - ¼ * v + t/8
Der Satz gilt genau dann, wenn die Teilerbeziehung zutrifft, also (4*t -1) und (8*v+1) das vollständige Produkt der 8*m-1 Zahl za sind.
zu zeigen ist weiterhin für die Behauptung 3.1( [(m- 0,5*t) / (4*t-1)] * [(m - 1 - 7*v) / (8*v+1)] = v* (t/2 - 1)), dass
3.1.2 Lemma [(m - 1 - 7*v) / (8*v+1)] = t/2 - 1
gegeben 8*m-1 = (8*v+1)* (4*t-1) // : (8*v+1)
Äquivalenzen: (8*m-1)/ (8*v+1) = 4*t - 1 // : 8
(m - 0.125)/(8*v+1) = ½ * t - 1/8 // -7/8
(m - 0.125)/(8*v+1) - 7/8 = ½ * t - 1
(m - 0.125)/(8*v+1) - 7(8*v+1)/8*(8*v+1) = ½ * t - 1
(m - 0.125)/(8*v+1) - 7(v+1/8)/(8*v+1) = ½ * t - 1
[(m - 0.125 - 7v - 7/8)]/(8*v+1) = ½ * t - 1
[(m - 7v - 1)]/(8*v+1) = ½ * t - 1
Aus den Lemmata 3.1.1 und 3.1.2 folgt durch einfache Produktbildung und Substitution der Satz
3.1.2 ( [(m- 0,5*t) / (4*t-1)] * [(m - 1 - 7*v) / (8*v+1)] = v* (t/2 - 1))
Für die Faktorisierung kann dann m/4 zerlegt werden für das Produkt v*t und entsprechend aufgeteilt. Die Fallunterscheidung v >=t oder t >= v erfasst die möglichen (gegebenenfalls nicht-primen) Faktoren vollständig.
m/4 = v*t - ¼ * v + t/8
Nebenergebnisse : (m/4 - t/8 )/(t-1/4) = v
3.2. Die Beziehung von v*(t/2-1) zu za:
Äquivalenzen:
v* (t/2 - 1)) * 2 = vt - 2v
m/4 - (vt - 2v) =
v*t - ¼ * v + t/8 - (vt -2v) = 1,75*v + t/8 (Substitution mit Satz 3.1.1)
m/4 - 2[v* (t/2 - 1))] = 1,75*v + t/8
(m/4 -1,75*v - t/8) = 2*[v* (t/2 - 1))] [Substitution mit Satz 3.1.2]
(m/8 - 0,875*v - t/16) = [v* (t/2 - 1))]
Lemma 3.3.1 (m/8 - 0,875*v - t/16) = [v* (t/2 - 1))]
Die Differenz von za zu v*(t/2 -1) beträgt also:
8*m - 1 - ( m/8 - 0,875*v - t/16)
= 7, 875*m + 0,875*v + t/16 - 1
Die Differenz zu m:
m - m/8 + 0,875*v + t/16
= 7/8 * m + 0,875*v + t/16
Es können dann noch Höchstwerte für t und v in Abhängigkeit von m berechnet werden:
mit t = 4 als Mindestwert von t für ein ganzzahliges Vielfaches im Quotienten:
(m - 1 - 7*v)/(8*v+1) = t/2 - 1 (Lemma 3.1.2)
mit t = 4 als Mindestwert:
1 = (m - 1 - 7*v)/(8*v+1) // * (8*v+1)
8v + 1 = m - 1- 7v
15v + 2 = m
v = (m - 2)/15
Lemma 3.3.2: v =< (m - 2)/15
(m- 0,5*t) / (4*t-1) = v (Lemma 3.1.1)
mit v = 1 als Mindestwert:
(m- 0,5*t) / (4*t-1) = 1
(m- 0,5*t) = (4*t-1)
m = 4,5*t - 1
(m - 1)/4,5 = t
Lemma 3.3.3: t =< (m - 1)/4,5
4. Fazit und Ausblick
Für diesen und alle weiteren Zahlentypen der vorgestellten Struktur lassen sich weitere Modulos herleiten und Approximationen für Faktoren berechnen.
Diese sind um so besser, je geringer die Differenz von v und t.
zu Lemma 3.3.1 (m/8 - 0,875*v - t/16) = [v* (t/2 - 1))]:
Je näher v*t/2 an m/8, desto näher ist (0,875*v + t/16) an v
Beweis: [v* (t/2 - 1))] = vt/2 - v
Sei vt/2 = m/8 =>
- v = - (0,875*v + t/16)
Äquivalenzen:
- 0,125*v = - t/16 // * (-16)
2*v = t
Mit Substitution ins Lemma 3.3.1 folgt dann (m/8 - 0,875*v - t/16) = v^2-1
Äquivalenzen:
m/8 - 0,875*v - t/16 = v^2 - 1 // +1
m/8 - 0,875*v - t/16 + 1 = v^2
v^2 + 0,875*v - m/8 + t/16 - 1 = 0
v1,2 = - 7/16 +- 0.5* ((7/8)^2 + (m/2 - t/4 +4))^0.5
Woraus sich in Abhängigkeit der Größe von m annähernd v = t/2 ergibt, wie zu erwarten war.
Entsprechend können Faktoren von m/8 - n reduziert und der abgespaltene Summand auf
- 0,875*v - t/16 projiziert werden.
Damit ist dann gegebenenfalls eine Auflösung der Faktoren von za
allein durch t*v und werterhaltende Erweiterungen möglich.
z.B. für za = 184015 = 8* 23002 - 1 und m = 23002, m/8 = 2875,5
int(m) = 2875 = 5^3 *23
Die vorgegeben Faktoren der m - nahen, ganzen Zahl 2875 lassen sich durch Multiplikation mit 1/4 und 4 so verändern, dass das Produkt insgesamt gleich bleibt:
(1/4*5^3 ) * (23*4) = 31,5 * 92.
Korrekte Werte für t und v sind: t/2 = 31 und 93 für v.
Die Annäherung liegt bei t/2 also bei 0,5 Differenz, bei v bei 92 - was ja auch (mit 2875,5) der genauen Formel für m/8 entspricht:
Lemma 3.1.1 ist erfüllt:
23002/8 - 0,875*93 - 62/16) = [93* (62/2 - 1)] =
2875,25 - 81,375 - 3,875 = 93* 30 = 2790
Die Faktoren von za sind 4*t - 1 = 4*62 - 1 = 247 und für 8*v+1 = 745 = 8*93 +1
247 * 745 = 184015
Wie die Beweise zeigen (und die vielen Programme, die dazu bereits gepythoned wurde, ist das Beispiel kein Einzelfall)
Es gibt noch zwei weitere Modulos für den Zahlentyp noch jeweils vier für die anderen Zahlentypen.
Weitere Erläuterungen, auch über die Konstruktivität des Programmes bzw. der Strukturtheorie also in nächster Zeit.
Dr. Ulrike Ritter (StudiDoc)
